2024年全國甲卷理科第20題的多解與推廣 浙江省諸暨中學(xué) (311800)

打開文本圖片集

1.試題呈現(xiàn)

題目 （2024年高考全國甲卷理科第20題）已知橢圓 c 的右焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) 在橢圓 c 上，且 M F ⊥ x 軸.

（1）求橢圓 的方程；（ 2 ） P （ 4 ， 0 ） ，過 P 的直線與橢圓 c 交于 兩

點(diǎn)， N 為 F P 的中點(diǎn)，直線 N B 與 交于 Q ，證明：AQ （20 軸.

2.多解探究

第（1）問易得 c 的方程為 （過程略）

下面重點(diǎn)探究第（2）問.第（2）問考查橢圓中的坐標(biāo)問題，根據(jù)題目要證明的 A Q ⊥ y 軸，即轉(zhuǎn)化為證明 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.

證法1 當(dāng) A B 斜率為0時(shí)，顯然 A Q ⊥ y 軸

當(dāng)直線 A B 斜率不為0時(shí)，設(shè)過點(diǎn) P （ 4 ， 0 ） 的直線為 x = m y + 4 ，與橢圓 c 的方程聯(lián)立，消去 x 得（20 設(shè) ， ，則

由 N 為線段 F P 的中點(diǎn)知， ，即 二2my2+3，直線BN：y 令 x = 1 2my+3要證AQ⊥y 軸 （2最后一式顯然成立.故問題得證.

點(diǎn)評(píng)由于將直線設(shè)為 x = m y + 4 ，根與系數(shù)關(guān)系的式子更簡潔，再結(jié)合分析法，進(jìn)一步優(yōu)化了證明過程，減少了計(jì)算量。（剩余1757字）