Gronwall Bellman不等式及其 在雙時滯微分系統(tǒng)中的運(yùn)用

摘 要：本文運(yùn)用推廣的GronwallBellman不等式研究分?jǐn)?shù)階雙時滯微分系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性.首先，通過適當(dāng)?shù)姆e分變換將GronwallBellman不等式在整數(shù)階雙時滯積分系統(tǒng)中進(jìn)行推廣.其次，利用所得結(jié)論，并結(jié)合Hlder不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式以及換元法等方法將GronwallBellman不等式推廣到分?jǐn)?shù)階雙時滯的積分系統(tǒng)中.最后，運(yùn)用上述所得結(jié)論，研究分?jǐn)?shù)階雙時滯微分系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞：GronwallBellman不等式；分?jǐn)?shù)階RiemannLiouville積分方程；時滯；有限時間穩(wěn)定性

中圖分類號：O175.13

自1919年Gronwall積分不等式誕生以來，Gronwall積分不等式在常微分方程、偏微分方程解的研究及估計上起著極其重要的作用［1］.

時滯系統(tǒng)在實(shí)際生活中的應(yīng)用范圍非常廣泛.一方面，它在建筑結(jié)構(gòu)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、工業(yè)水處理、冶金工業(yè)等系統(tǒng)中都十分常見.另一方面，在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)下，處理數(shù)據(jù)以及傳送數(shù)據(jù)也能引發(fā)系統(tǒng)中時滯的產(chǎn)生［24］.此外，穩(wěn)定性問題也是分?jǐn)?shù)階微分方程的研究中一個重要的問題［57］.

為了使Gronwall不等式更好地運(yùn)用于實(shí)際問題，本文將GronwallBellman不等式與時間延遲聯(lián)系起來，以便解決多時滯的積分不等式相關(guān)問題.

1 預(yù)備知識

為了方便，記區(qū)間J=［t0，T］，0t0<T.

定義1［8］：（有限時間穩(wěn)定性）對于帶有時滯的Caputo分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)cDαtx（t）=f（t，x（t），x（t-τ）），t∈J，x（t）=φ（t），t0-τtt0.若滿足ε>0，δ∈（0，ε），當(dāng)‖φ‖=supt0-τtt0‖φ（t）‖δ時，有‖x（t）‖ε，t∈［t0-τ，T］，則稱上述系統(tǒng)對于{δ，ε，T}是有限時間穩(wěn)定的.

引理1［8］：（推廣的GronwallBellman不等式）假設(shè)f，g∈C（J，R），且u∈C1（J，R），滿足u′（t）f（t）u（t）+g（t），t∈J，u（t0）u0.

則u（t）u0e∫tt0f（s）ds+∫tt0g（s）e∫tsf（r）drds，t∈J.

引理2［8］：（Minkowski不等式）令1<p<∞，f，g∈Lp（J，R），則f+g∈Lp（J，R），且∫Tt0f（t）+g（t）pdt1p∫Tt0f（t）pdt1p+∫Tt0g（t）pdt1p，t∈J.

引理3［8］：（Jensen不等式）令k∈，且x1，x2……xk是非負(fù)的實(shí)數(shù)，那么∑kj=1xjqkq-1∑kj=1xjq，q>1.

2 GronwallBellman不等式在整數(shù)階雙時滯積分不等式中的推廣

假設(shè)f（t）、g（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定義在J上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，φ（t）是定義在［t0-τ2，t0］上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，τ2>τ1>0.令m（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1），n（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1）+k2（t）g（t-τ2），p（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2），q（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）f（t-τ2），M（t）=h（t）g（t），N（t）=h（t）f（t）+k1（t）φ（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2）.

定理1：若對上述函數(shù)滿足u（t）f（t）+g（t）∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.

則當(dāng)t∈［t0，t0+τ1］時，u（t）f（t）+g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drds；（1）

當(dāng)t∈［t0+τ1，t0+τ2］時，u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫tt0+τ1p（s）e∫tsm（r）drds；（2）

當(dāng)t∈［t0+τ2，T］時，

u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ2n（s）dse∫t0+τ2t0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫t0+τ2t0+τ1p（s）e∫t0+τ2sm（r）drds+∫tt0+τ2q（s）e∫tsn（r）drds.（3）

注：具體證明可通過對t進(jìn)行分類討論，并結(jié)合引理1直接得出，在此不多贅述。（剩余4791字）