解析幾何中圓的公切線方程解題思路和技巧分析

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圓的公切線方程是對高中數(shù)學(xué)“圓的切線、切點弦”相關(guān)知識的拓展，該內(nèi)容對學(xué)生的發(fā)散思維、邏輯思維以及應(yīng)變思維能力都有一定要求.本文主要從解題思路和解題技巧兩個角度對圓的公切線方程教學(xué)進行探討.

1 圓的公切線方程簡介

1. 1 圓的公切線方程

公切線是指同時與曲線 y=f(x),y=g(x) 相切的直線.圓的公切線是一種特殊的曲線公切線，通常以函數(shù)來表示，根據(jù)圓的性質(zhì)可以將其分為外切公切線和內(nèi)切公切線[1].當公切線位于兩個圓的同側(cè)時，則稱該公切線為圓的外公切線，當公切線位于兩個圓的不同側(cè)，則稱該公切線為圓的內(nèi)公切線，如圖1所示.

1. 2 圓的公切線方程解題思路

假設(shè)圓 O1:x2+y2+B1x+C1y+D1=0(B12 +C12-4D1>0? ，圓 O2:x2+y2+B2x+C2y+ D2=0(B22+C22-4D2>0) ，并且兩圓之間的關(guān)系為內(nèi)切，則可以直接將兩式聯(lián)立后相減，得到經(jīng)過兩圓交點的直線即兩圓公切線[2].

由 ①-② 可得： (B1-B2)x+(C1-C2)y+ (D1-D2)=0.

圖1

兩公式相減后代表的含義與兩圓的關(guān)系存在關(guān)聯(lián)：（1）當兩圓為內(nèi)切關(guān)系時，兩圓的公切線僅有一條，此時兩公式相減后得到僅有的公切線；（2）當兩圓為外切或外離關(guān)系時，兩公式相減后得到的公切線為兩圓的內(nèi)公切線，此時剩余公切線與內(nèi)公切線平行或相交.

2 兩圓內(nèi)切的公切線解題技巧

兩圓內(nèi)切時，其公切線僅有1條，此時兩圓的坐標關(guān)系如圖2所示.

圖2

計算兩圓公切線時，可以直接將兩圓的方程相減，得到兩圓的唯一公切線，解題思路為：

例1計算圓 ?1:x2+y2-4x-16=0 ，與圓?2:x2+y2+2x-4=0 的公切線.

通過分析可以發(fā)現(xiàn) ?2 的圓心 (0,-1) 在 ?1 的圓心內(nèi)，并且兩圓的半徑相差等于圓心距，由此可以判斷兩圓的關(guān)系為內(nèi)切，此時兩圓公切線僅有1條，對于該內(nèi)切兩圓，可設(shè)公切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑的性質(zhì)來解得公切線方程 2x+ y+6=0

3 兩圓外切的公切線解題技巧

兩圓外切可以分為兩個半徑相等的圓外切以及兩個半徑不等的圓外切，如圖3所示.

圖3

其中半徑相等時的兩圓外切公切線只需借助兩圓半徑以及外切線和內(nèi)切線的平行關(guān)系則可以輕易求出，因此本文以例2分析兩外切圓半徑不等時的公切線計算方式.

例2過點 作圓 x2+y2=1 的兩條切線，其切點分別為 A,B ，求

本題實質(zhì)上可以通過作輔助外切圓的方式計算.首先假設(shè)存在與圓外切但半徑不同的圓(x-n)2+(y-m)2=1 ，此時兩圓相減后得到：2nx+2my-n2-m2=0 ,得到兩圓的內(nèi)切線,隨后根據(jù)兩圓內(nèi)切線和外切線的幾何關(guān)系，計算圓 x2+y2=1 與兩圓的切線并得到切點，最終得出

兩圓外離的公切線解題技巧

兩圓外離可以分為兩個半徑相等的圓外切以及兩半徑不等的圓外切，如圖4所示.

圖4

其中半徑相等時的兩圓外里公切線只需借助兩圓半徑以及外切線和內(nèi)切線的平行關(guān)系和相交關(guān)系即可以輕易求出，因此本文以例3分析兩外離圓半徑不等時的公切線計算方式.

例3計算圓 ?1:x2+y2=1 ，與圓 ?2 ·(x-6)2+y2=4 的所有公切線方程。（剩余1922字）