求數(shù)列前 n 項和的幾種思路解析

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在解答數(shù)列問題時，我們經(jīng)常會遇到求數(shù)列的前n 項和問題.解答這類問題，需掌握并靈活運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式.本文主要介紹求數(shù)列前 n 項和的三種思路，供大家參考.

一、分組求和

有時數(shù)列中的各項可以拆分、重組為幾個簡單的數(shù)列，如常數(shù)數(shù)列 1,1,1,? ；等差數(shù)列 ；等比數(shù)列 ；等等.我們就可以采用分組求和法，將數(shù)列進行分組，分別進行求和，最后將各組的和相加減，就能求得數(shù)列的前 n 項和.

例1.設(shè)數(shù)列 的通項公式為 an=4n-1 ，且 為等差數(shù)列.若 b1=2 ， b2=6 ，求數(shù)列 的前 n 項和 Tn ：

解：設(shè)等差數(shù)列 的公差是 d ，由于 b1-a1=2-1=1,b2-a2=6-4=2 則 d=2-1=1 ，所以 bn-an=1+(n-1)×1=n ，即數(shù)列 的通項公式是 bn=n+4n-1 ，所以數(shù)列 的前 n 項和 T?n=1+40+2+41+?+ (n-1)+4n-2+n+4n-1=[1+2+?+(n-1)+n]+(40+41+?+(n-1)+n].

數(shù)列 的通項公式 bn=n+4n-1 可以拆分為 n ）4n-1 ，于是將數(shù)列 進行拆分，一組為等差數(shù)列：1,2,?,n-1,n ；一組為等比數(shù)列： 40,41,?,4n-2,4n-1, 分別運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前 n 項和公式來求和，即可解題.

二、裂項相消

若數(shù)列的通項公式可分裂為兩項之差的形式，就可以考慮運用裂項相消法進行求和.將裂項后的各項重新排序、組合，使得前后項可以相互抵消，便能輕松求得數(shù)列的前 n 項和.運用這種方法求和，要仔細研究數(shù)列的通項公式，將其進行合理的裂項

例2.已知等差數(shù)列 的首項是3，公差是2，前n 項和是 Sn 求 的值。（剩余3998字）