對(duì)一道圓錐曲線?？碱}的探究與溯源

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摘要：文章聚焦一道圓錐曲線模考題，深入探究其解題思路與方法.通過詳細(xì)剖析題目條件，從不同角度給出多種解法，展現(xiàn)圓錐曲線知識(shí)的靈活運(yùn)用，同時(shí)，深度溯源，探尋該?？碱}在教材及歷年真題中的命題依據(jù)與知識(shí)原型，揭示其與圓錐曲線核心知識(shí)點(diǎn)的緊密聯(lián)系，為教學(xué)與備考提供有效參考.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；直線斜率；探究與溯源

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0032-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡(jiǎn)介：楊希蕊，高中在讀；

李昌成，本科，正高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

直線與圓錐曲線的綜合問題一直是高考及模考的?？碱}型，通常把直線與圓錐曲線等知識(shí)融合在一起，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，尤其注重對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的考查，符合課程標(biāo)準(zhǔn)中“對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)”的要求.下面以2024年武漢市高三第五次調(diào)研考試圓錐曲線解答題為例進(jìn)行分析與探究，并進(jìn)行相關(guān)試題鏈接及溯源，以饗讀者.

1試題呈現(xiàn)

題目如圖1，已知雙曲線E：x2-y2=1，直線PQ與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，直線MN與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn).

（1）若直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN；

（2）設(shè)直線PQ與直線MN的交點(diǎn)為T（1，2），且TP·TQ=TM·TN，求證：直線PQ與直線MN的斜率之和為0.2總體分析

本題是2024年武漢市高三第五次調(diào)研考試第17題，直線與圓錐曲線的綜合題.此題以雙曲線為載體，第（1）問設(shè)點(diǎn)，將斜率表示出來，結(jié)合點(diǎn)差法易求，屬于基礎(chǔ)題.第（2）問入口寬，方法多樣.可以設(shè)直線的普通方程（點(diǎn)斜式或斜截式），利用向量的數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；數(shù)形結(jié)合易知TP與TQ，TM與TN反向共線，因此可以轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度的乘積相等，利用弦長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化求解，當(dāng)然求解過程中要注意根據(jù)位置關(guān)系合理去絕對(duì)值，避免討論；可以結(jié)合四點(diǎn)共圓，利用二次曲線系巧妙求解；還可以利用直線參數(shù)方程的幾何意義求解.當(dāng)然，不同的求解方法，思維量不同，計(jì)算量也有很大的差異.

3試題解答

3.1第（1）問解析

解析設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（-x1，-y1），P（x0，y0），結(jié)合點(diǎn)差法易求得kPMkPN=b2a2=1.

3.2第（2）問解析

由題可知，直線PQ與MN的斜率都存在，記kPQ=k1，kMN=k2.

視角1直線點(diǎn)斜式方程切入.

解法1向量數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理求解.

設(shè)直線PQ：y-2=k1（x-1），P（x1，y1），Q（x2，y2），

TP=（x1-1，y1-2），TQ=（x2-1，y2-2），

聯(lián)立y-2=k1（x-1），

x2-y2=1，消y整理，得

（1-k21）x2-2k1（2-k1）x-（2-k1）2-1=0，

顯然1-k21≠0，且Δ>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=2k1（2-k1）1-k21，

x1x2=-（2-k1）2-11-k21（1-k21>0）.①

所以TP·TQ=（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）

=（x1-1）（x2-1）+k1（x1-1）·k2（x2-1）

=（1+k21）（x1-1）（x2-1）

=（1+k21）［x1x2-（x1+x2）+1］.

將①代入化簡(jiǎn)整理，得

TP·TQ=（1+k21）·-41-k21.

同理TM·TN=（1+k22）·-41-k22.

由TP·TQ=TM·TN，得-41-k21=-41-k22.

解得k21=k22.

又k1≠k2，所以k1=-k2，即k1+k2=0.

解法2轉(zhuǎn)化為線段積結(jié)合弦長(zhǎng)公式。（剩余2068字）