基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學導數(shù)試題本質研究

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摘要：凹凸性是刻畫連續(xù)函數(shù)性質的重要工具之一.文章從高中學生認知水平的實際出發(fā)，在介紹了函數(shù)凹凸性相關定義和定理的基礎上，對近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學導數(shù)試題進行示例分析和解題本質研究，以期為一線教師的解題教學和高考備考提供參考和啟示.

關鍵詞：凹凸性；高考數(shù)學；導數(shù)；試題本質

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0069-03

美國數(shù)學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）曾說：問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學的真正組成部分是問題和解[1]；數(shù)學作為一門研究規(guī)律的學科，毫無疑問數(shù)學解題教學有其內在的屬性和規(guī)律，而這個屬性與規(guī)律就是數(shù)學解題的本質[2].

凹凸性是刻畫連續(xù)函數(shù)性質的重要工具之一，不僅在高等數(shù)學中具有廣泛的應用價值，同時也是高考數(shù)學試題命制的熱點[3].回顧近年高考試題發(fā)現(xiàn)，基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學試題頻頻出現(xiàn)，但由于普通高中數(shù)學課程標準并沒有對函數(shù)的凹凸性做具體要求，相關性質在高中數(shù)學內容中又分布得較為隱蔽和零散，導致學生不會以整體的視野去統(tǒng)整相關的內容，更難將該思想方法順利遷移到相關的解題中去.因此，函數(shù)凹凸性的“學考分離”現(xiàn)象成為高中數(shù)學教學和高考備考中一個不容忽視的問題.

為此，筆者從高中學生認知水平的前提出發(fā)，在介紹函數(shù)凹凸性相關定義和定理的基礎上，對近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學導數(shù)試題進行示例分析和解題本質研究，以期為一線教師的解題教學和高考備考提供參考和啟示.

1 預備知識

定義設f（x）為定義在a，b上的連續(xù)函數(shù)，若對a，b中任意兩點x1，x2和任意實數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱f（x）為a，b上的凸函數(shù)；反之，如果總有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱f（x）為a，b上的凹函數(shù).

定理[4]設f（x）為定義在a，b上的二階可導函數(shù)，則在a，b上f（x）為凸（凹）函數(shù)的充要條件是f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.

2 “ f（x）≤kx+b（或≥）”型導數(shù)試題的分析與結論

例1（2017年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學第21題）設函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求實數(shù)a的取值范圍.

解析（1）略；（2）因為f（x）=（1-x2）ex，所以f ′x=ex（-x2-2x+1），

進而有f ″x=-ex（x2+4x+1）<0在［0，+

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）上恒成立。（剩余3260字）